المعجم الشامل لتعريفات ومفاهيم الرياضيات
الصف الثالث المتوسط - المرحلة المتوسطة
مرحباً بكم في هذا الدليل التعليمي الموسع والمصمم خصيصاً لطلاب الصف الثالث المتوسط. نضع بين أيديكم في هذا المقال مرجعاً أكاديمياً شاملاً ومفصلاً لجميع المصطلحات، التعريفات، القوانين والمفاهيم الرياضية الواردة في المنهج المعتمد، مرتبة ومبوبة حسب الوحدات الدراسية لسهولة الحفظ والمراجعة السريعة والتحضير للامتحانات النهائية.
فهرس الوحدات الدراسية المشمولة في الملخص:
- الوحدة الأولى: الدالة (التطبيق) والعلاقات
- الوحدة الثانية: الهندسة الإحداثية ومعادلات الخط المستقيم
- الوحدة الثالثة: المعادلات الآنية والتربيعية
- الوحدة الرابعة: هندسة الدائرة (النظريات والنتائج)
- الوحدة الخامسة: التحليل الرياضي والمقادير الجبرية
- الوحدة السادسة: علم الإحصاء والتمثيل البياني
- الوحدة السابعة: المجسمات والقياس (الحجوم والمساحات)
الوحدة الأولى: الدالة (التطبيق) والعلاقات
تعتبر الدالة أو التطبيق حجر الأساس في علم الجبر المعاصر، حيث تنقل الطالب من مفهوم المجموعات الساكنة إلى الارتباط الحركي والمنطقي بين العناصر الجبرية.
١. المجموعة (Set)
تجمع من الأشياء المتميزة والمحددة تحديداً تاماً لا لبس فيه، وتسمى هذه الأشياء المكونة للمجموعة بـ "عناصر المجموعة".
شرح موسع: يجب أن يكون هناك معيار موضوعي ثابت للحكم على انتماء عنصر ما للمجموعة من عدمه (مثل مجموعة أرقام معينة أو أحرف)، ولا تعتمد على الذوق الشخصي مثل قولنا "مجموعة القصص الجميلة".
٢. الزوج المرتب (Ordered Pair)
هو صيغة رياضية تتكون من عنصرين يكتبان على الصورة (أ، ب) حيث يسمى العنصر الأول أ بالمسقط الأول، ويسمى العنصر الثاني ب بالمسقط الثاني.
خاصية جوهرية: الترتيب في الزوج المرتب شرط أساسي، بحيث إن الزوج المرتب (أ، ب) لا يساوي مطلقاً الزوج المرتب (ب، أ) إلا في حالة واحدة فقط وهي عندما تكون أ = ب.
٣. الحاصل الديكارتي (Cartesian Product)
إذا كانت لدينا مجموعتان س و ص، فإن الحاصل الديكارتي لهما ويرمز له بالرمز س × ص هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة التي مسقطها الأول ينتمي إلى المجموعة س ومسقطها الثاني ينتمي إلى المجموعة ص.
س × ص = { (أ، ب) : أ ∋ س ، ب ∋ ص }
٤. العلاقة (Relation)
العلاقة من المجموعة س إلى المجموعة ص هي أي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي س × ص. ويرمز لها عادة بالرمز ع.
توضيح: هذا يعني أن ع ⊆ (س × ص). قد ترتبط بعض عناصر س ببعض عناصر ص بناءً على قاعدة معينة تسمى "قاعدة العلاقة".
٥. مجال العلاقة (Domain of Relation)
هو مجموعة جميع المساقط الأولى للأزواج المرتبة التي تنتمي إلى العلاقة ع، وهو دائماً مجموعة جزئية من المجموعة الأولى س.
٦. المجال المقابل للعلاقة (Codomain)
هو المجموعة الثانية ص كاملة، والتي تنتمي إليها المساقط الثانية للأزواج المرتبة المكونة للعلاقة، سواء ارتبطت عناصرها أم لم ترتبط.
٧. مدى العلاقة (Range of Relation)
هو مجموعة المساقط الثانية الفعلية لجميع الأزواج المرتبة التي تنتمي إلى العلاقة ع. والمدى دائماً يكون مجموعة جزئية من المجال المقابل ص.
٨. التطبيق / الدالة (Mapping / Function)
التطبيق د من المجموعة س إلى المجموعة ص هو علاقة خاصة تربط كل عنصر من عناصر المجموعة س بعنصر واحد فقط من عناصر المجموعة ص.
شروط التطبيق الجوهرية:
- شرط الشمولية: خروج سهم من كل عنصر من عناصر المجال س دون استثناء.
- شرط الوحدانية: خروج سهم واحد فقط من كل عنصر، فلا يجوز لعنصر في المجال أن يرتبط بصورتين في المجال المقابل.
٩. صورة العنصر (Image of an Element)
إذا ارتبط العنصر س بالعنصر ص بواسطة التطبيق د، فإننا نقول إن ص هي صورة العنصر س تحت تأثير التطبيق، وتكتب رياضياً على الصورة: د(س) = ص.
١٠. قاعدة الاقتران / قانون التطبيق (Function Rule)
هي الصيغة الرياضية الجبرية التي تبين كيفية ارتباط عناصر المجال بعناصر المجال المقابل، وتحويل العنصر س إلى صورته المحددة.
تصنيفات وأنواع التطبيقات
ينقسم التطبيق بناءً على طبيعة توزيع الصور في المجال المقابل إلى ثلاثة أنواع رئيسية:
١١. التطبيق الشامل (Surjective / Onto Function)
يكون التطبيق د : س ← ص تطبيقاً شاملاً إذا كان مدى التطبيق مساوياً تماماً للمجال المقابل ص.
بمعنى آخر: كل عنصر في المجال المقابل ص هو صورة لعنصر واحد على الأقل من عناصر المجال س (لا يوجد عنصر وحيد أو "فارغ" في المجموعة ص).
١٢. التطبيق المتباين (Injective / One-to-One Function)
يكون التطبيق متبايناً إذا كانت العناصر المتمايزة في المجال لها صور متمايزة في المجال المقابل.
التعريف الرياضي الصارم: إذا كان أ ≠ ب فإن د(أ) ≠ د(ب) لكل أ، ب ∋ س. أو بصورة مكافئة: إذا كان د(أ) = د(ب) فإن هذا يقتضي حتماً أن أ = ب. (لا يمكن لعنصرين في س الاشتراك في نفس الصورة).
١٣. التطبيق التقابل / التناظر الأحادي (Bijective Function)
هو التطبيق الذي يحقق الشرطين السابقين معاً، أي أنه تطبيق شامل ومتباين في آن واحد.
١٤. التطبيق العكسي (Inverse Function)
إذا كان التطبيق د : س ← ص تطبيقاً تقابلياً (شاملاً ومتبايناً)، فإنه يوجد تطبيق عكسي ويرمز له بالرمز د-1 بحيث يقوم بنقل العناصر بالاتجاه المعاكس د-1 : ص ← س.
قاعدة ذهبية: لا يمكن للتطبيق العكسي أن يوجد كدالة مالم يكن التطبيق الأصلي تطبيقاً تقابلياً.
١٥. التطبيق المحايد (Identity Function)
هو التطبيق الذي يربط كل عنصر بنفسه، ويرمز له بالرمز ت، وصيغته الرياضية هي ت(س) = س لجميع العناصر المكونة للمجال.
١٦. التطبيق الثابت (Constant Function)
هو تطبيق يكون فيه مدى الدالة مكوناً من عنصر واحد فقط، أي أن جميع عناصر المجال ترتبط وتتجمع عند عنصر وحيد في المجال المقابل، وصورته د(س) = جـ حيث جـ عدد ثابت.
١٧. تركيب التطبيقات / دالة الدالة (Composition of Functions)
عملية جبرية يتم فيها دمج تطبيقين لإنتاج تطبيق جديد، فإذا كان لدينا د و هـ، فإن تركيبهما يكتب على الصورة (د ∘ هـ)(س) وتقرأ "د تركيب هـ لـ س" وتساوي رياضياً د(هـ(س)).
الوحدة الثانية: الهندسة الإحداثية ومعادلات الخط المستقيم
تربط الهندسة الإحداثية بين الهندسة البصرية والجبر العددي، مما يسمح بتمثيل الأشكال والمستقيمات عبر معادلات جبرية داخل نظام محاور منظم.
١٨. المستوى الإحداثي الديكارتي (Cartesian Coordinate Plane)
نظام هندسي يتشكل من تقاطع خطي أعداد متعامدين في نقطة تسمى "نقطة الأصل"، يسمى الخط الأفقي بـ "محور السينات" والخط الرأسي العمودي بـ "محور الصادات".
١٩. نقطة الأصل (Origin Point)
هي نقطة تقاطع محوري السينات والصادات في المستوى الإحداثي، وهي المركز المرجعي لجميع الإحداثيات ويرمز لها بالرمز و وإحداثياتها الرقمية الثابتة هي (٠، ٠).
٢٠. المسافة بين نقطتين في المستوى (Distance Formula)
الطول الفعلي للقطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتين أ(س١، ص١) و ب(س٢، ص٢)، وتحسب بالصيغة الرياضية المستنتجة من نظرية فيثاغورث:
ف = √[ (س٢ - س١)٢ + (ص٢ - ص١)٢ ]
٢١. إحداثيات نقطة المنتصف (Midpoint Coordinates)
هي النقطة التي تقسم القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتين إلى جزأين متساويين تماماً، ويتم حسابها عبر إيجاد المتوسط الحسابي لإحداثيات الطرفين:
م = ( (س١ + س٢) / ٢ ، (ص١ + ص٢) / ٢ )
٢٢. ميل الخط المستقيم (Slope of a Line)
هو مقياس لدرجة انحراف أو ميلان الخط المستقيم بالنسبة لمحور السينات الموجب، ويعرف رياضياً بأنه نسبة "التغير الرأسي" إلى "التغير الأفقي" بين أي نقطتين واقعتين على هذا المستقيم.
الميل (م) = (ص٢ - ص١) / (س٢ - س١)
الحالات الخاصة للميل:
- إذا كان المستقيم موازياً لمحور السينات، فإن ميله يساوي صفراً.
- إذا كان المستقيم موازياً لمحور الصادات، فإن ميله غير معرف (لأن المقام يصبح صفراً).
٢٣. الجزء المقطوع من محور الصادات (y-intercept)
هو القيمة الإحداثية الصادية للنقطة التي يتقاطع فيها الخط المستقيم مع محور الصادات الرأسي، وتكون عندها قيمة الإحداثي السيني مساوية للصفر دائماً (٠، جـ).
٢٤. الجزء المقطوع من محور السينات (x-intercept)
هو القيمة الإحداثية السينية للنقطة التي يتقاطع فيها الخط المستقيم مع محور السينات الأفقي، وتكون عندها قيمة الإحداثي الصادي مساوية للصفر دائماً (س، ٠).
٢٥. شرط توازي مستقيمين (Condition for Parallel Lines)
يتوازى مستقيمان في المستوى الإحداثي إذا وفقط إذا كان لهما نفس الميل تماماً، أي أن المستقيمين لا يتقاطعان مهما امتدا.
ل١ // ل٢ ⇔ م١ = م٢
٢٦. شرط تعامد مستقيمين (Condition for Perpendicular Lines)
يتعامد مستقيمان في المستوى الإحداثي (يصنعان زاوية قائمة ٩٠ درجة) إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -١.
ل١ ⊥ ل٢ ⇔ م١ × م٢ = -١
تعبير آخر: ميل أحدهما يساوي مقلوب ميل الآخر مع تغيير الإشارة الجبرية: م١ = -١ / م٢.
٢٧. المعادلة العامة للخط المستقيم (General Linear Equation)
هي دالة جبرية من الدرجة الأولى متغيرة الإحداثيات، وتكتب صورتها القياسية العامة على النحو التالي:
أ س + ب ص + جـ = ٠
حيث أ، ب، جـ أعداد حقيقية ثابتة، وبشرط ألا تكون أ و ب مساويتين للصفر معاً. ميل هذا المستقيم يحسب بالقانون: م = -أ / ب.
٢٨. معادلة المستقيم بمعلومية الميل والجزء المقطوع (Slope-Intercept Form)
صيغة خاصة لكتابة معادلة الخط المستقيم عندما يكون ميله م والجزء المقطوع من محور الصادات جـ معلومين:
ص = م س + جـ
الوحدة الثالثة: المعادلات الآنية والتربيعية
دراسة المعادلات تمثل الأداة التحليلية لحل المشكلات اللفظية والحياتية المعقدة عن طريق تحويلها إلى صياغات رياضية قابلة للحل الذكي.
٢٩. المعادلة الخطية (Linear Equation)
هي معادلة تكون فيها القوة الأكبر (الأُس) لجميع المتغيرات الموجودة فيها هي القوة الأولى (الدرجة الأولى)، وتظهر بيانياً دائماً على شكل خط مستقيم.
٣٠. الجملة المفتوحة (Open Sentence)
تعبير رياضي يحتوي على متغيرات (مجاهيل)، ولا يمكن الحكم على صحته أو خطئه إلا بعد التعويض عن هذه المتغيرات بقيم عددية معينة من مجموعة التعويض.
٣١. المعادلات الآنية (Simultaneous Equations)
مجموعة تتكون من معادلتين خطيتين أو أكثر تحوي متغيرين أو أكثر، والمطلوب هو إيجاد قيم المشتركة لهذه المتغيرات التي تحقق جميع هذه المعادلات في نفس الوقت (آنياً).
٣٢. مجموعة الحل للمعادلات الآنية (Solution Set)
مجموعة الأزواج المرتبة (س، ص) التي يؤدي التعويض بها في كلا المعادلتين معاً إلى جعل طرفي كل معادلة متساويين تساوياً صحيحاً.
هندسيًا: مجموعة الحل تمثل إحداثيات نقطة تقاطع المستقيمين الممثلين للمعادلتين في المستوى الإحداثي.
٣٣. طريقة الحذف (Elimination Method)
إحدى الطرق الجبرية لحل المعادلات الآنية، وتعتمد على جمع أو طرح المعادلتين للتخلص من أحد المتغيرين (عبر جعل معاملاتهما متساوية في القيمة العددية ومختلفة في الإشارة)، ليتبقى متغير واحد يسهل إيجاد قيمته.
٣٤. طريقة التعويض (Substitution Method)
طريقة جبرية لحل النظام، تعتمد على جعل أحد المتغيرين (مثلاً س) موضوعاً للقانون في إحدى المعادلتين، ثم تعويض قيمته الرمزية في المعادلة الأخرى، مما يحولها إلى معادلة بمتغير واحد.
٣٥. المعادلة التربيعية بمتغير واحد (Quadratic Equation)
هي معادلة جبرية من الدرجة الثانية، حيث يكون أعلى أُس للمتغير فيها هو ٢، وتكتب صورتها النموذجية العامة كالآتي:
أ س٢ + ب س + جـ = ٠
بشرط أن يكون أ ≠ ٠ (لأنه لو كان صفراً لتحولت إلى معادلة خطية)، وتسمى الأعداد أ، ب، جـ بمعاملات المعادلة التربيعية.
٣٦. جذرا المعادلة التربيعية / الأصفار (Roots of Quadratic Equation)
هما القيمتان الحقيقيتان للمتغير س اللتان تحققان المعادلة وتجعلان الطرف الأيمن مساوياً للصفر. وللمعادلة التربيعية جذران كحد أقصى.
٣٧. القانون العام لحل المعادلة التربيعية (Quadratic Formula)
صيغة رياضية عامة وموحدة تستخدم لإيجاد جذور أي معادلة تربيعية مباشرة بناءً على قيم معاملاتها العدديّة، وتكتب على الصورة:
س = [ -ب ± √(ب٢ - ٤ أ جـ) ] / [ ٢ أ ]
٣٨. المميز (Discriminant)
هو المقدار الرياضي الموجود تحت الجذر في القانون العام، ويرمز له بالرمز اليوناني دلتا (Δ)، وقيمته هي ب٢ - ٤ أ جـ.
أهمية المميز في تحديد طبيعة الجذور:
- إذا كان المميز موجباً (Δ > ٠): للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان.
- إذا كان المميز صفراً (Δ = ٠): للمعادلة جذر حقيقي واحد متكرر (جذران متساويان).
- إذا كان المميز سالباً (Δ < ٠): لا توجد جذور حقيقية للمعادلة (الجذور تخيلية).
الوحدة الرابعة: هندسة الدائرة (النظريات والنتائج)
الدائرة من أهم الأشكال الهندسية المتناظرة. وترتكز دراستها في الصف الثالث المتوسط على العلاقات الهندسية بين الأوتار، الزوايا، والمماسات.
٣٩. الدائرة (Circle)
المحل الهندسي لجميع النقط في المستوى والتي تبعد بعداً ثابتاً (يسمى نصف القطر) عن نقطة ثابتة معلومة (تسمى مركز الدائرة).
٤٠. وتر الدائرة (Chord)
هو أي قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين مختلفتين واقفتين على محيط الدائرة الداخلي.
٤١. قطر الدائرة (Diameter)
هو وتر خاص يمر بمركز الدائرة، ويعتبر أطول وتر ممكن في الدائرة، وطوله يساوي ضعف طول نصف القطر (٢ نق).
٤٢. القوس (Arc)
جزء متصل ومقتطع من محيط الدائرة الخارجي، وينقسم إلى قوس أصغر وقوس أكبر بناءً على قياس الزاوية المركزية المقابلة له.
٤٣. الزاوية المركزية (Central Angle)
هي زاوية يقع رأسها في مركز الدائرة تماماً، ويكون ضلعاها نصفي قطرين في هذه الدائرة. قياس الزاوية المركزية يساوي دائماً قياس القوس المقابل لها.
٤٤. الزاوية المحيطية (Inscribed Angle)
هي زاوية يقع رأسها على محيط الدائرة، ويحمل ضلعاها وترين في الدائرة.
النظرية الأساسية: قياس الزاوية المحيطية يساوي دائماً نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في نفس القوس.
٤٥. الشكل الرباعي الدائري (Cyclic Quadrilateral)
هو شكل هندسي رباعي الأضلاع تتميز رؤوسه الأربعة بأنها تقع جميعها على محيط دائرة واحدة.
خاصية جوهرية: في أي رباعي دائري، يكون مجموع كل زاويتين متقابلتين مساوياً لـ ١٨٠ درجة (الراديان المستقيم).
٤٦. مماس الدائرة (Tangent line)
هو خط مستقيم يقع في مستوى الدائرة ويشترك معها في نقطة واحدة فقط مهما امتد، وتسمى هذه النقطة المشتركة بـ "نقطة التماس".
نظرية التماس: المماس يكون عمودياً دائماً على نصف القطر المار بنقطة التماس (يصنعان زاوية قياسها ٩٠ درجة).
٤٧. زاوية المماسية (Tangential Angle)
هي الزاوية المحصورة بين مماس الدائرة وأي وتر مار بنقطة التماس. ويساوي قياسها قياس الزاوية المحيطية المرسومة على هذا الوتر من الجهة الأخرى.
٤٨. القطعتان المماستان (Tangent Segments)
هما القطعتان المستقيمتان المرسومتان من نقطة خارج الدائرة وتلامسان الدائرة. وتكون هاتان القطعتان متساويتين تماماً في الطول.
الوحدة الخامسة: التحليل الرياضي والمقادير الجبرية
تحليل المقادير الجبرية يماثل تفكيك الأعداد إلى عواملها الأولية، وهي المهارة الأساسية لتبسيط الكسور والعمليات الرياضية العليا.
٤٩. المقدار الجبري (Algebraic Expression)
عبارة رياضية تتكون من حد جبري واحد أو تفصل بين حدودها إشارات الجمع (+) أو الطرح (-)، وتتضمن ثوابت عددية ومتغيرات رمزية.
٥٠. التحليل إلى العوامل (Factorization)
عملية تحويل المقدار الجبري المكتوب على شكل مجموع حدود، إلى حاصل ضرب حدين أو أكثر من الحدود والمقادير الأبسط (العوامل).
٥١. العامل المشترك الأعلى - ع.م.أ (Highest Common Factor - HCF)
هو أكبر حد جبري (عددي ورمزي بآن واحد) يقسم جميع حدود المقدار الجبري المعطى بدون باقٍ، ويستخرج كخطوة أولى دائماً في عمليات التحليل الجبري.
٥٢. المربع الكامل كعدد (Perfect Square)
هو العدد الناتج من ضرب عدد صحيح في نفسه، مثل العدد ٩ لأنه ناتج من ٣ × ٣.
٥٣. المقدار الثلاثي المربع الكامل (Perfect Square Trinomial)
مقدار جبري ثلاثي الحدود ينتج عن تربيع مقدار ذي حدين، ويكتب على الصورة أ٢ ± ٢ أ ب + ب٢، وتحليله النموذجي المغلق يكون:
أ٢ ± ٢ أ ب + ب٢ = (أ ± ب)٢
٥٤. الفرق بين مربعين (Difference of Two Squares)
مقدار جبري يتكون من حدين مربعين تفصل بينهما علامة الطرح فقط، صيغته س٢ - ص٢، وقاعدته الثابتة في التحليل هي:
س٢ - ص٢ = (س - ص) (س + ص)
٥٥. مجموع مكعبين والفرق بينهما (Sum and Difference of Cubes)
مقادير جبرية تكون فيها الحدود مرفوعة للقوة الثالثة (التكعيب). قواعد التحليل لهما تنقسم لقوس صغير وقوس كبير كالآتي:
الفرق بين مكعبين: س٣ - ص٣ = (س - ص) (س٢ + س ص + ص٢)
مجموع مكعبين: س٣ + ص٣ = (س + ص) (س٢ - س ص + ص٢)
الوحدة السادسة: علم الإحصاء والتمثيل البياني
الإحصاء هو العلم الذي يعنى بجمع البيانات الرقمية وتلخيصها وتحليلها لتسهيل قراءتها وفهم الظواهر المحيطة واتخاذ القرارات السليمة.
٥٦. البيانات الإحصائية (Statistical Data)
مجموعة المشاهدات أو القياسات أو القيم الرقمية التي يتم جمعها أثناء دراسة ظاهرة معينة (مثل درجات الطلاب، أطوالهم، درجات الحرارة).
٥٧. الجدول التكراري البسيط (Frequency Table)
جدول تنظيمي يتكون من عمودين؛ يخصص العمود الأول للقيم أو المشاهدات المرصودة، ويخصص العمود الثاني لـ "التكرار" وهو عدد مرات ظهور كل قيمة.
٥٨. المدى الإحصائي (Statistical Range)
هو الفرق العددي بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة البيانات المعطاة، وهو أبسط مقاييس التشتت الإحصائي.
المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة
٥٩. الفئة التكرارية (Class Interval)
مجموعة فرعية من البيانات المحصورة بين حدين عدديين؛ حد أدنى وحد أعلى، وتستخدم لتلخيص البيانات الكبيرة جداً وتجميعها (مثل الفئة من ١٠ إلى ٢٠).
٦٠. مركز الفئة (Class Midpoint)
هي القيمة العددية النموذجية التي تقع في منتصف الفئة الإحصائية تماماً، وتساوي المتوسط الحسابي لحدها الأدنى وحدها الأعلى:
مركز الفئة = (الحد الأدنى للفئة + الحد الأعلى للفئة) / ٢
٦١. المدرج التكراري (Histogram)
تمثيل بياني هندسي للبيانات المبوبة، يتكون من أعمدة مستطيلة متلاصقة، تمثل قواعدها طول الفئات على المحور الأفقي، وتمثل ارتفاعاتها التكرار المقابل لكل فئة على المحور الرأسي.
٦٢. المضلع التكراري (Frequency Polygon)
خط بياني منكسر يتم الحصول عليه من خلال توصيل النقط الإحداثية التي تمثل (مركز الفئة، التكرار) بواسطة قطع مستقيمة متتالية.
٦٣. القطاعات الدائرية (Pie Charts)
طريقة تمثيل بياني تُقسم فيها الدائرة الكاملة إلى أجزاء (قطاعات زاوية) بحيث يتناسب قياس زاوية كل قطاع مع التكرار أو النسبة المئوية للبيانات التي يمثلها.
زاوية القطاع = (تكرار الفئة / المجموع الكلي للتكرارات) × ٣٦٠°
مقاييس النزعة المركزية (Measures of Central Tendency)
مقاييس رقمية تستخدم لتحديد القيمة الوسطى أو المركزية التي تتمركز وتتجمع حولها البيانات الإحصائية المرصودة:
٦٤. المتوسط / الوسط الحسابي (Mean)
هو القيمة التي تساوي حاصل جمع جميع القيم مقسوماً على عددها الفعلي الإجمالي.
الوسط الحسابي (م) = مجموع القيم (مج س) / عدد القيم (ن)
٦٥. الوسيط (Median)
هو القيمة العددية التي تتوسط البيانات تماماً بعد القيام بترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً، بحيث يقسم البيانات إلى نصفين متساويين (٥٠٪ أعلى منه و٥٠٪ أدنى منه).
ملاحظة هامة: إذا كان عدد القيم فردياً فالوسيط هو القيمة الوسطى المباشرة، أما إذا كان عدد القيم زوجياً فالوسيط هو المتوسط الحسابي للقيمتين اللتين في المنتصف.
٦٦. المنوال (Mode)
هو القيمة أو المشاهدة الأكثر شيوعاً أو التي تتكرر أكثر من غيرها في مجموعة البيانات. وقد تحتوي البيانات على منوال واحد، أو أكثر، أو لا تحتوي على منوال على الإطلاق.
الوحدة السابعة: المجسمات والقياس (الحجوم والمساحات)
تتعامل الهندسة الفراغية وثلاثية الأبعاد مع الأجسام التي تشغل حيزاً في الفراغ، وتدرس حساب سعاتها ومساحات أسطحها الخارجية.
٦٧. المجسم (Solid)
كل شكل هندسي يشغل حيزاً في الفراغ الثلاثي الأبعاد، وله ثلاثة أبعاد رئيسية هي: الطول، العرض، والارتفاع.
٦٨. المنشور الثلاثي قائم الزاوية (Triangular Prism)
مجسم هندسي ذو خمسة أوجه، يتميز بأن له قاعدتين متطابقتين تماماً على شكل مثلث، وثلاثة أوجه جانبية مستطيلة الشكل.
٦٩. الحجم (Volume)
مقدار الحيز ثلاثي الأبعاد الذي يشغله المجسم في الفراغ، ويقاس بالوحدات المكعبة (مثل: سم٣، م٣).
القانون العام لحجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع
٧٠. المساحة الجانبية للمجسم (Lateral Area)
مجموع مساحات جميع الأوجه الجانبية المحيطة بالمجسم الفراغي، باستثناء مساحتي القاعدتين العلوية والسفلية.
المساحة الجانبية للمنشور القائم = محيط القاعدة × الارتفاع
٧١. المساحة الكلية للمجسم (Total Surface Area)
إجمالي مساحة السطح الخارجي الكامل للمجسم، وتساوي المساحة الجانبية مضافاً إليها مجموع مساحتي القاعدتين.
٧٢. الأسطوانة الدائرية القائمة (Cylinder)
مجسم فراغي ينشأ من دوران مستطيل حول أحد أضلاعه دورة كاملة، وله قاعدتان دائريتان متوازيتان ومتطابقتان، وسطح جانبي منحنٍ.
حجم الأسطوانة = ط نق٢ ع
المساحة الجانبية للأسطوانة = ٢ ط نق ع
المساحة الكلية للأسطوانة = ٢ ط نق ع + ٢ ط نق٢
٧٣. المخروط الدائري القائم (Cone)
مجسم هندسي له قاعدة دائرية واحدة مستوية، وتضيق الأوجه الجانبية تدريجياً وبشكل منحنٍ صعوداً حتى تلتقي عند نقطة وحيدة تسمى "رأس المخروط".
حجم المخروط = (١ / ٣) × ط نق٢ × ع
علاقة هامة: حجم المخروط يساوي ثلث حجم الأسطوانة المشتركة معه في نصف قطر القاعدة والارتفاع.
٧٤. الراسم في المخروط (Slant Height)
هو طول القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس المخروط وأي نقطة تقع على محيط قاعدة المخروط الدائرية، ويرمز له بالرمز ل. ويخضع لعلاقة فيثاغورث: ل٢ = ع٢ + نق٢.
٧٥. الكرة (Sphere)
مجسم هندسي دوراني متناظر تماماً، يتشكل من سائر النقط التي تقع في الفراغ وتبعد بعداً ثابتاً (نق) عن نقطة المركز. ليس لها أوجه أو حواف أو رؤوس.
حجم الكرة = (٤ / ٣) × ط × نق٣
مساحة سطح الكرة الخارجي = ٤ × ط × نق٢
٧٦. النسبة التقريبية الثابتة / باي (Pi)
هي القيمة العددية الناتجة عن قسمة محيط أي دائرة على طول قطرها، وهي ثابت رياضي شهير يرمز له بالرمز اللاتيني ط أو π، وقيمتها التقريبية المستعملة في الحسابات هي:
ط ≈ ٢٢ / ٧ ≈ ٣٫١٤
💡 نصائح ذهبية لحفظ واستذكار التعريفات الرياضية:
- الفهم قبل الحفظ: الرياضيات مادة منطقية، لذا اربط التعريف دائماً بالرسم الهندسي أو الرمز الجبري الخاص به ليسهل استدعاؤه في الامتحانات.
- التمثيل البصري: عند دراسة تعريفات مثل الشكل الرباعي الدائري أو مماس الدائرة، قم برسم دائرة بيدك وطبق عليها الخصائص الواردة في التعريف فوراً.
- كتابة القوانين: التعريفات المرتبطة بحساب الحجوم والمساحات والميل والمجموعات الديكارتية تعتمد كلياً على القوانين، احرص على حل تمرينين على الأقل لكل قانون لتثبيت المفهوم النظري بشكل عملي.
مع تمنياتنا لجميع طلاب الصف الثالث المتوسط بالنجاح والتفوق الأكاديمي الباهر!
إرسال تعليق