ملخص الرياضيات الصف الثالث المتوسط (الوحدة الأولى - الثالثة)
مراجعة شاملة ومبسطة لمفاهيم الدوال، الأسس، اللوغاريتمات، المستوى الديكارتي، والمعادلات الخطية.
إعداد: فريق التبسيط التعليمي
🔹 الوحدة الأولى: الدالة (التطبيق)
1. تعريف الدالة (التطبيق)
📌 مفهوم أساسي: الدالة (أو التطبيق) هي علاقة خاصة تربط كل عنصر من المجال بعنصر واحد فقط في المجال المقابل.
- المجال (س): مجموعة عناصر الدالة (التي تخرج منها الأسهم).
- المجال المقابل (ص): المجموعة التي تحتوي على صور العناصر.
- مدى الدالة: مجموعة الصور الفعلية (العناصر التي وصلها سهم).
✏️ مثال توضيحي:
إذا كان س = {أ، ب، جـ} و ص = {1، 2، 3، 4}، وعلاقة تربط أ→2، ب→3، جـ→4، فهذه تمثل تطبيقاً لأن كل عنصر من س له صورة واحدة فقط في ص.
2. شروط التطبيق
- كل عنصر من المجال يجب أن يرتبط بعنصر واحد فقط في المجال المقابل.
- لا يشترط أن يرتبط كل عنصر من المجال المقابل بعنصر من المجال (أي قد تبقى بعض العناصر في ص دون أسهم).
3. أنواع التطبيقات (الدوال)
| نوع التطبيق | الشرط | مثال |
|---|---|---|
| شامل (على) | مدى الدالة = المجال المقابل (كل عنصر في ص له سهم قادم من س). | س={1،2}، ص={أ،ب}، 1→أ، 2→ب |
| متباين (متجانس) | كل عنصر في المجال المقابل هو صورة لعنصر واحد فقط من المجال. | س={1،2،3}، ص={أ،ب،جـ}، 1→أ، 2→ب، 3→جـ |
| تقابل | شامل + متباين معاً. | كل عنصر في ص يقابله عنصر واحد في س والعكس. |
💡 ملاحظة مهمة: التطبيق العكسي يكون فقط للتطبيقات التي تمثل تقابلاً.
4. قاعدة الاقتران (صورة العنصر)
يمكن كتابة قاعدة الدالة بأكثر من صورة، مثل:
- د(س) = 2س
- ص = 2س
- ص ∝ س (في بعض السياقات)
✏️ مثال محلول:
إذا كان د(س) = س² - 1، فجد: د(2)، د(0)، د(-3).
الحل:
- د(2) = 2² - 1 = 4 - 1 = 3
- د(0) = 0 - 1 = -1
- د(-3) = (-3)² - 1 = 9 - 1 = 8
🔹 الوحدة الثانية: الأسس واللوغاريثمات
1. الأساس والقوة (الأس)
📌 مفهوم أساسي: الأس (القوة) يعبر عن عدد مرات ضرب الأساس في نفسه.
- أن = أ × أ × أ × ... (ن مرة)
- أ: الأساس، ن: الأس (عدد صحيح موجب).
✏️ مثال: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
2. قوانين الأسس الأساسية
| القانون | الصيغة الرياضية |
|---|---|
| ضرب الأسس (نفس الأساس) | أم × أن = أم+ن |
| قسمة الأسس (نفس الأساس) | أم ÷ أن = أم-ن (أ≠0) |
| رفع قوة لقوة | (أم)ن = أم×ن |
| قوة حاصل الضرب | (أ×ب)ن = أن × بن |
| الأس الصفري | أ0 = 1 (أ≠0) |
| الأس السالب | أ-ن = 1/أن (أ≠0) |
💡 تذكر: أي عدد (ما عدا الصفر) مرفوع للأس صفر يساوي 1.
3. اللوغاريثمات
تعريف: اللوغاريثم هو العملية العكسية للأس. إذا كان أن = ص، فإن لوأ ص = ن.
- أساس اللوغاريثم (أ): عدد موجب ≠ 1.
- اللوغاريثم العشري: أساسه 10، ويكتب لو ص (بدون أساس).
✏️ أمثلة:
- لو2 8 = 3 لأن 2³ = 8
- لو 1000 = 3 لأن 10³ = 1000
- لو 0.001 = -3 لأن 10⁻³ = 0.001
⚠️ خطأ شائع: الخلط بين اللوغاريثم والأس. تذكر أن اللوغاريثم هو الأس الذي يُرفع إليه الأساس للحصول على العدد.
🔹 الوحدة الثالثة: المستوى الديكارتي والمعادلات الخطية
1. المستوى الديكارتي (الإحداثيات)
- المحور السيني (الأفقي): الإحداثي الأول (س).
- المحور الصادي (الرأسي): الإحداثي الثاني (ص).
- نقطة الأصل: (0،0) نقطة تقاطع المحورين.
| الربع | إشارة س | إشارة ص |
|---|---|---|
| الأول | موجب (+) | موجب (+) |
| الثاني | سالب (-) | موجب (+) |
| الثالث | سالب (-) | سالب (-) |
| الرابع | موجب (+) | سالب (-) |
2. معادلة الدرجة الأولى في مجهولين
الصورة العامة: أ س + ب ص = جـ (حيث أ، ب، جـ أعداد حقيقية، وأ، ب لا يساويان صفراً معاً).
- الحل البياني: كل معادلة تمثل خطاً مستقيماً، ونقطة تقاطع الخطين هي الحل المشترك للمعادلتين.
3. حل نظام من معادلتين خطيتين
هناك ثلاث طرق أساسية لحل نظام المعادلات:
- طريقة الحذف بالجمع: نوحد معاملي أحد المجهولين مع اختلاف الإشارة، ثم نجمع المعادلتين.
- طريقة الحذف بالمقابلة: نجعل أحد المجهولين موضوعاً للقانون في كل معادلة، ثم نساوي بينهما.
- طريقة الحذف بالتعويض: نعبر عن أحد المجهولين بدلالة الآخر في إحدى المعادلتين، ثم نعوض في المعادلة الأخرى.
✏️ مثال على طريقة الجمع:
حل النظام: س + ص = 8 و س - ص = 4
الحل: بجمع المعادلتين: 2س = 12 ← س = 6
بالتعويض في الأولى: 6 + ص = 8 ← ص = 2
مجموعة الحل: {(6، 2)}
💡 ملاحظة: يمكن أن يكون للنظام:
- حل واحد: إذا تقاطع المستقيمان.
- لا حل: إذا كان المستقيمان متوازيين.
- عدد لا نهائي من الحلول: إذا تطابق المستقيمان.
📊 جداول تلخيصية للمفاهيم الرئيسية
جدول (1): ملخص الدوال (التطبيقات)
| المفهوم | التعريف | مثال |
|---|---|---|
| دالة (تطبيق) | كل عنصر في المجال له صورة واحدة في المجال المقابل | س={1،2}، ص={أ،ب}، 1→أ، 2→ب |
| مدى الدالة | مجموعة صور عناصر المجال | إذا كان د(س)=س²، س∈{1,2,3}، فالمدى={1,4,9} |
| دالة شاملة | المدى = المجال المقابل | س={1,2}، ص={أ،ب}، 1→أ، 2→ب |
| دالة متباينة | لكل صورة مصدر واحد فقط | د(س)=2س، س∈الأعداد الطبيعية |
| تقابل | شاملة + متباينة | د(س)=س+1 من {1,2} إلى {2,3} |
جدول (2): قوانين الأسس واللوغاريثمات
| القاعدة | الصيغة | مثال |
|---|---|---|
| ضرب الأسس | أم × أن = أم+ن | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| قسمة الأسس | أم ÷ أن = أم-ن | 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ |
| رفع قوة لقوة | (أم)ن = أم×ن | (3²)³ = 3⁶ |
| الأس السالب | أ-ن = 1/أن | 2⁻³ = 1/8 |
| الأس الصفري | أ⁰ = 1 | 7⁰ = 1 |
| تعريف اللوغاريثم | لوأ ص = ن ⇔ أن = ص | لو₂ 8 = 3 |
⚠️ أكثر الأخطاء الشائعة
- في الدوال: الاعتقاد بأن الدالة يجب أن تكون شاملة دائماً. (الصحيح: قد لا تكون شاملة)
- في الأسس: جمع الأساسات عند الضرب (مثلاً: 2³ × 2² = 4⁵). (الصحيح: نجمع الأسس فقط، الأساس يبقى 2)
- في اللوغاريثمات: الخلط بين لو 1000 = 3 ولو 1000 = 10³. (تذكر: اللوغاريثم هو الأس)
- في المعادلات: نسيان تغيير الإشارة عند نقل الحدود من طرف لآخر.
- في المستوى الديكارتي: عكس إحداثيات النقطة (س، ص) أو الخطأ في تحديد الربع.
📝 أمثلة محلولة شاملة
مثال (1) - الدوال:
إذا كان س = {2، 4، 6، 8}، ص = {1، 3، 5، 7، 9}، وعرفت الدالة د: س → ص بالقاعدة د(س) = س - 1. أوجد المدى، وهل الدالة شامل؟
الحل:
- د(2)=1، د(4)=3، د(6)=5، د(8)=7
- المدى = {1، 3، 5، 7}
- الدالة ليست شاملة لأن 9 ∈ ص ولكن 9 ليست في المدى.
مثال (2) - الأسس:
بسط العبارة: (2³ × 2⁵) ÷ 2⁴
الحل:
- (2³ × 2⁵) ÷ 2⁴ = 2⁽³⁺⁵⁾ ÷ 2⁴ = 2⁸ ÷ 2⁴ = 2⁸⁻⁴ = 2⁴ = 16
مثال (3) - اللوغاريثمات:
أوجد قيمة لو₃ 81.
الحل:
- نبحث عن الأس ن الذي يحقق: 3ⁿ = 81
- 3⁴ = 81 ← إذن لو₃ 81 = 4
مثال (4) - المعادلات الخطية:
حل النظام: 2س + ص = 7 و س - 2ص = 1 بطريقة التعويض.
الحل:
- من المعادلة الثانية: س = 1 + 2ص
- عوض في الأولى: 2(1+2ص) + ص = 7 → 2 + 4ص + ص = 7 → 5ص = 5 → ص = 1
- عوض في س = 1 + 2(1) = 3
- مجموعة الحل: {(3، 1)}
📌 أسئلة مراجعة (مع الإجابات النموذجية)
السؤال الأول: حدد أي من العلاقات التالية تمثل تطبيقاً مع ذكر السبب؟
أ) س = {أ، ب، جـ}، ص = {1، 2، 3}، العلاقة: أ→1، ب→2، جـ→3
ب) س = {أ، ب، جـ}، ص = {1، 2، 3، 4}، العلاقة: أ→1، أ→2، ب→3، جـ→4
🟢 إجابة السؤال الأول
أ) تمثل تطبيقاً لأن كل عنصر من س له صورة واحدة فقط.
ب) لا تمثل تطبيقاً لأن العنصر (أ) من س ارتبط بصورتين (1 و 2).
السؤال الثاني: بسط العبارة: (3²)³ × 3⁵
🟢 إجابة السؤال الثاني
(3²)³ = 3⁶، ثم 3⁶ × 3⁵ = 3¹¹
السؤال الثالث: اكتب الصورة اللوغاريثمية للعبارة: 5⁴ = 625
🟢 إجابة السؤال الثالث
لو₅ 625 = 4
السؤال الرابع: ما هي إحداثيات النقطة التي تقع في الربع الرابع، وبعدها عن المحور الصادي يساوي 3، وعن المحور السيني يساوي 2؟
🟢 إجابة السؤال الرابع
النقطة هي (3، -2) (لأن في الربع الرابع س موجب، ص سالب).
السؤال الخامس: حل النظام: س + ص = 5 و 2س - ص = 1 بيانياً (حدد نقطة التقاطع).
🟢 إجابة السؤال الخامس
بحل النظام: بجمع المعادلتين → 3س = 6 ← س=2، ص=3. نقطة التقاطع هي (2، 3).
🎯 نصائح قبل الامتحان
- افهم التعريفات جيداً: ركز على تعريف الدالة، التطبيق الشامل، المتباين، التقابل.
- حفظ القوانين: اجعل جدول قوانين الأسس واللوغاريثمات أمامك دائماً.
- تدرب على الحل: حل أكبر عدد من المسائل في كل موضوع، خاصة المعادلات.
- رسم دقيق: عند رسم المستوى الديكارتي، تأكد من دقة الإحداثيات وترقيم المحاور.
- مراجعة الأخطاء الشائعة: انتبه للأخطاء التي يقع فيها الكثيرون وتجنبها.
- قسّم وقتك: خصص وقتاً لكل وحدة، واترك وقتاً للمراجعة النهائية.
📌 ملخص سريع
- الدالة: علاقة خاصة (كل عنصر من س له صورة واحدة في ص). أنواعها: شامل، متباين، تقابل.
- الأسس: تعبر عن الضرب المتكرر. القوانين الأساسية: الجمع والطرح للأسس عند الضرب والقسمة (نفس الأساس)، ضرب الأسس عند رفع قوة لقوة، الأس الصفري = 1.
- اللوغاريثمات: العملية العكسية للأس. لوأ ص = ن يعني أن = ص. اللوغاريثم العشري أساسه 10.
- المستوى الديكارتي: المحور السيني (الأفقي) والصادي (الرأسي)، نقطة الأصل (0،0)، أربعة أرباع.
- المعادلات الخطية: صيغتها العامة أ س + ب ص = جـ. حل نظام معادلتين بثلاث طرق: الجمع، المقابلة، التعويض.
❓ الأسئلة الشائعة (FAQ)
ج: كل دالة هي علاقة، ولكن ليس كل علاقة دالة. الدالة تشترط أن يكون لكل عنصر من المجال صورة واحدة فقط.
ج: عندما يكون شاملاً (المدى = المجال المقابل) ومتبايناً (كل صورة لها مصدر واحد).
ج: الأس السالب هو عملية حسابية (مثل 2⁻³ = 1/8)، أما اللوغاريثم فهو عملية عكسية للأس (مثل لو₂ 8 = 3).
ج: بإشارة كل من س وص: الأول (++), الثاني (-+), الثالث (--), الرابع (+-).
ج: يعتمد على المعادلات. استخدم الجمع إذا كان معاملا أحد المجهولين متعاكسين بالإشارة، والتعويض إذا كان أحد المجهولين معامله 1.
✅ تم إعداد هذا الملخص ليكون دليلاً سريعاً وشاملاً للطلاب. نتمنى لكم التوفيق والنجاح.
إرسال تعليق