🔢 المجموعات والعمليات عليها

📌 المجموعة والعنصر والانتماء

المجموعة هي تجمع من الأشياء المحددة بوضوح. العنصر هو الشيء المكون للمجموعة. نستخدم ∈ للانتماء، ∉ لعدم الانتماء. لا تعتبر التجمعات غير الواضحة (مثل "الأذكياء") مجموعات رياضية.

📌 طرق التعبير عن المجموعة

• طريقة التعداد (رصد العناصر): نكتب العناصر داخل { } مفصولة بفاصلة. مثال: {الأبيض، الأحمر، الأخضر، الأسود}.
• طريقة الصفة المميزة: {س : شرط يصف العنصر}. مثال: {س : س عدد فردي > 1 و < 10}.

📌 أنواع المجموعات

• الخالية (Ø أو { }): لا تحتوي على أي عنصر.
• الأحادية: تحتوي على عنصر واحد فقط.
• المنتهية: يمكن حصر عناصرها (مثل أيام الأسبوع).
• غير المنتهية: لا نهاية لعناصرها (مثل الأعداد الطبيعية).

📌 المجموعة الجزئية والمتساوية

جزئية (⊂): إذا كان كل عنصر في ص موجود في س، نقول ص ⊂ س. المجموعة الخالية جزئية من أي مجموعة.

متساوية (=): إذا كانت س ⊂ ص و ص ⊂ س معاً. ترتيب العناصر وتكرارها لا يؤثر.

📌 المجموعة الشاملة

هي المجموعة الكبيرة التي تضم كل العناصر الممكنة في مسألة معينة، ويرمز لها بالرمز ش. ترسم كمستطيل في أشكال ڤن.

📌 تقاطع واتحاد المجموعات

• التقاطع (∩): العناصر المشتركة بين مجموعتين.
• الاتحاد (∪): جميع العناصر في المجموعتين دون تكرار.

أشكال ڤن: تمثيل بياني للمجموعات بدوائر متقاطعة أو منفصلة أو متضمنة.

➕➖ الأعداد الصحيحة

📌 تعريف وتمثيل الأعداد الصحيحة

مجموعة الأعداد الصحيحة ص = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}. تمثل على خط الأعداد، الموجبة على اليمين والسالبة على اليسار.

📌 النظير الجمعي والقيمة المطلقة

• النظير الجمعي: العدد المقابل على خط الأعداد (نظير 5 هو -5). مجموع العدد ونظيره = 0.
• القيمة المطلقة (| |): بعد العدد عن الصفر، دائماً موجب. مثال: |-5| = 5.

📌 مقارنة وترتيب الأعداد الصحيحة

الموجبة > السالبة. الصفر > أي عدد سالب. بين السالبين، الأقرب للصفر هو الأكبر. الترتيب التصاعدي: من الأصغر للأكبر (من اليسار لليمين).

📌 العمليات على الأعداد الصحيحة

• الجمع: نفس الإشارة (اجمع وضع الإشارة)، مختلف الإشارة (اطرح وضع إشارة الأكبر).
• الطرح: أ - ب = أ + (-ب). (إشارتا سالب متتاليتان تتحولان إلى موجب).
• الضرب والقسمة: موجب × موجب = موجب، سالب × سالب = موجب، سالب × موجب = سالب. (القسمة على صفر غير معرفة).

📌 خواص الجمع والضرب

خواص الجمع: الإغلاق، الإبدال، التجميع، العنصر المحايد (0)، النظير الجمعي.

خواص الضرب: الإغلاق، الإبدال، التجميع، العنصر المحايد (1)، توزيع الضرب على الجمع.

💯 النسبة المئوية

📌 تعريف النسبة المئوية

النسبة المئوية هي نسبة مقامها 100، وتكتب س% (أي س/100). مثال: 24% = 0.24.

📌 إيجاد النسبة المئوية والمقدار

• النسبة المئوية = (الجزء / الكل) × 100%
• المقدار = (النسبة / 100) × الكمية الكلية

📌 الزيادة والنقصان المئوي والربح والخسارة

• الزيادة: المبلغ الجديد = الأصلي + (نسبة الزيادة × الأصلي).
• النقصان: المبلغ الجديد = الأصلي - (نسبة النقص × الأصلي).
• الربح = سعر البيع - سعر الشراء، نسبة الربح = (الربح / سعر الشراء) × 100%.
• الخسارة = سعر الشراء - سعر البيع، نسبة الخسارة = (الخسارة / سعر الشراء) × 100%.

✖️➕ التعابير الجبرية

📌 التعبير العددي والرمزي

عددي: أعداد فقط (مثل 5+4). رمزي (جبري): يحتوي على متغيرات (مثل س+3=8).

📌 الحد الجبري ومكوناته

الحد الجبري: جزء يفصل بإشارة + أو -. يتكون من معامل (عدد) ومتغير (رمز). مثال: في 5س، المعامل 5 والمتغير س.

📌 الحدود المتشابهة وغير المتشابهة

متشابهة: نفس المتغير ونفس الأس (مثل 3س، 5س). الثوابت متشابهة مع بعضها. غير متشابهة: مختلفة في المتغير أو الأس.

جمع وطرح الحدود المتشابهة: نجمع أو نطرح المعاملات فقط، ونبقي المتغير كما هو.

📌 جمع التعابير والقيمة العددية

جمع التعابير: نجمع الحدود المتشابهة مع بعضها.

القيمة العددية: نعوض عن المتغيرات بقيمها ونحسب الناتج مع مراعاة أولويات العمليات.

📐 مساحة الأشكال الهندسية

📌 مساحة المستطيل والمربع

• المستطيل: الطول × العرض.
• المربع: الضلع × الضلع = (الضلع)²، أو (القطر × القطر) ÷ 2.

📌 مساحة متوازي الأضلاع والمثلث

• متوازي الأضلاع: القاعدة × الارتفاع (العمودي).
• المثلث: ½ × القاعدة × الارتفاع.

📌 مساحة المعين وشبه المنحرف

• المعين: القاعدة × الارتفاع، أو (حاصل ضرب القطرين) ÷ 2.
• شبه المنحرف: ½ × (مجموع القاعدتين المتوازيتين) × الارتفاع. أو القاعدة المتوسطة × الارتفاع.

📌 مساحة الدائرة

المساحة = π نق² حيث π ≈ 22/7 أو 3.14، ونق هو نصف القطر.

📏 نظرية فيثاغورث وتطابق المثلثات

📌 نظرية فيثاغورث

في المثلث القائم الزاوية: (الوتر)² = (الساق الأولى)² + (الساق الثانية)².

تُستخدم لإيجاد طول ضلع مجهول، أو للتحقق من أن المثلث قائم الزاوية.

📌 تطابق المثلثات

حالات التطابق الأربع:

1. ضلع - ضلع - ضلع (ض، ض، ض)
2. ضلعان وزاوية محصورة (ض، ز، ض)
3. زاويتان وضلع مرسوم بينهما (ز، ض، ز)
4. الوتر وضلع في المثلث القائم (ق، و، ض)

🔥 أكثر الأسئلة تكراراً في الامتحانات

اختيار من متعدد

• المساحات: مربع مساحته 100 سم² → طول ضلعه 10 سم. دائرة قطرها 20 سم → مساحتها 314 سم² (باستخدام π=3.14).
• المجموعات: {4,2,0} بالصفة المميزة = {س : س عدد زوجي أقل من 5}. رمز المجموعة الخالية هو Ø.
• الأعداد الصحيحة: ناتج -5+6=1. نظير 5 هو -5.
• الجبر: معامل 5س هو 5. الحدان 3س و 3ص غير متشابهين.
• النسبة المئوية: 60% من 150 = 90. الربح = سعر البيع - سعر الشراء.
• فيثاغورث: الأضلاع 8، 15، 17 تشكل مثلثاً قائماً.

أسئلة الخواص والتكميل

• 2 + 0 = 2 ← خاصية العنصر المحايد الجمعي.
• 4 × 3 = 3 × 4 ← خاصية الإبدال في الضرب.
• 5 + (-5) = 0 ← خاصية النظير الجمعي.

أسئلة مقالية

• شبه منحرف قاعدته المتوسطة 12 سم وارتفاعه 3 سم ← مساحته = 12 × 3 = 36 سم².
• مستطيل مساحته 48 سم² وعرضه 6 سم ← طوله = 48 ÷ 6 = 8 سم.
• مثلث قاعدته 22 سم وارتفاعه 5 سم ← مساحته = ½ × 22 × 5 = 55 سم².
• 60% من 150 = (60/100) × 150 = 90.
• تعبير "ضعف العدد مضافاً إليه 5" = 2س + 5.
• إذا كان س=2، ص=7، فإن 3س+5ص = 3×2+5×7 = 41.

💪 بالتوفيق والنجاح لكل الطلاب 💪

📢 تابعوا صفحة تطبيق ذاكر للمزيد من الملخصات والمراجعات