المجموعة في الرياضيات هي تجمع من الأشياء المعينة تعييناً واضحاً لا لبس فيه. والأشياء المكونة للمجموعة تسمى عناصر.

نقول إن عنصراً ما ينتمي إلى مجموعة إذا كان موجوداً ضمن عناصرها ونستخدم الرمز (∈)، وإذا لم يكن موجوداً نستخدم الرمز (∉).

1. طريقة رصد العناصر (التعداد): نكتب جميع العناصر داخل قوسين معقوفين { } يفصل بينها فاصلة، دون اشتراط الترتيب، ودون تكرار العنصر.

2. طريقة الصفة المميزة: تستخدم عند وجود صفة مشتركة، وتكتب بالصيغة: {س : شرط يصف العنصر}.

المجموعة الخالية: هي التي لا تحتوي على أي عنصر على الإطلاق، ويرمز لها بـ { } أو Ø.

المجموعة الأحادية: هي التي تحتوي على عنصر واحد فقط لا غير.

المجموعة المنتهية: هي التي يمكن حصر عناصرها وتحديد عددها بدقة، مثل مجموعة أيام الأسبوع (7 عناصر).

المجموعة غير المنتهية: هي التي لا يمكن حصر عناصرها ولا نهاية لها، مثل مجموعة الأعداد الطبيعية {1, 2, 3, 4, ...}.

تكون المجموعة ص مجموعة جزئية من س إذا كان كل عنصر من ص ينتمي إلى س، ونكتب (ص ⊂ س).

تتساوى المجموعتان س و ص (س = ص) إذا كانت عناصر س هي نفس عناصر ص دون زيادة أو نقصان (أي س ⊂ ص و ص ⊂ س معاً). ولا يؤثر الترتيب أو التكرار على التساوي.

هي المجموعة الأم الكبيرة التي تضم كل العناصر الممكنة في مسألة معينة. وتمثل في أشكال ڤن بمستطيل محيط يضم كافة الدوائر الأخرى بداخله.

التقاطع (∩): مجموعة العناصر المشتركة فقط بين المجموعتين.

الاتحاد (∪): مجموعة كل العناصر الموجودة في المجموعتين معاً دون تكرار.

طريقة بيانية لتمثيل المجموعات باستخدام منحنيات مغلقة (دوائر). يمثل التقاطع في منطقة التداخل، وتكون الدوائر منفصلة إذا لم توجد عناصر مشتركة، وتكون دائرة داخل دائرة في حالة المجموعة الجزئية.

يرمز لها بالرمز ص وهي: {...، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ...}. تشمل الأعداد الموجبة والسالبة والصفر. وتمثل على خط الأعداد بحيث يكون الصفر في المنتصف، والموجب يميناً، والسالب يساراً.

النظير الجمعي: هو العدد المقابل له على خط الأعداد بنفس البعد من الصفر ومعاكس له في الإشارة (نظير 5 هو -5، ونظير الصفر هو نفسه). ومجموع العدد ونظيره يساوي دائماً صفراً.

القيمة المطلقة |أ|: هي بعد العدد عن الصفر، وتكون النتيجة دائماً موجبة أو صفراً. مثال: |-5| = 5.

الموجب دائماً أكبر من السالب، والصفر أكبر من أي عدد سالب. وفي الأعداد السالبة: العدد الأقرب إلى الصفر هو الأكبر (مثال: -2 > -5).

• الجمع: متفقا الإشارة ⬅️ نجمع ونضع إشارتها. مختلفا الإشارة ⬅️ نطرح ونضع إشارة العدد الأكبر في القيمة المطلقة.
• الطرح: نحول الطرح إلى جمع ونعكس إشارة العدد الثاني: أ - ب = أ + (-ب).
• الضرب والقسمة: متشابهان في الإشارة ⬅️ الناتج موجب (+). مختلفان في الإشارة ⬅️ الناتج سالب (-).

تتمتع العمليات بخواص: الإغلاق، الإبدال، التجميع، العنصر المحايد (الجمعي هو 0، والضربي هو 1)، وخاصية توزيع الضرب على الجمع.

• النسبة المئوية كمفهوم: هي نسبة حدها الثاني (مقامها) يساوي 100 وتكتب بالرمز %.
• إيجاد النسبة المئوية لكمية: النسبة المئوية = (الجزء ÷ الكل) × 100%.
• إيجاد مقدار من نسبة مئوية: المقدار = (النسبة المئوية ÷ 100) × الكمية الكلية.
• الربح والخسارة: الربح = ثمن البيع - ثمن الشراء || الخسارة = ثمن الشراء - ثمن البيع.

التعبير العددي يتكون من أعداد فقط، أما التعبير الجبري فيحتوي متغيرات (رموز) وأعداد وعمليات.

الحد الجبري: يتكون من معامل (عددي) ومتغير (رمزي). ففي الحد 5س، المعامل هو 5 والمتغير هو س.

الحدود المتشابهة: هي الحدود التي تحتوي على نفس المتغيرات وبنفس الأسس تماماً، وهي الوحيدة التي يمكن جمعها أو طرحها معاً.

نص النظرية: مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. ع² = س² + ص².

1. الحالة الأولى (ض - ض - ض): تطابق أطوال الأضلاع الثلاثة المتناظرة.
2. الحالة الثانية (ض - ز - ض): ضلعان والزاوية المحصورة بينهما.
3. الحالة الثالثة (ز - ضلع - ز): زاويتان والضلع الواصل بين رأسيهما.
4. الحالة الرابعة (ق - و - ض): وتر وضلع في المثلث القائم الزاوية.