ورقة عمل: تعريفات أساسيات الكسور الجزئية (الرياضيات المتخصصة)

 ورقة عمل: تعريفات أساسيات الكسور الجزئية (الرياضيات المتخصصة)

ورقة عمل مُركّزة على التعريفات الأساسية لباب الكسور الجزئية، مُستخلصة من منهج الشهادة السودانية.

المصطلح	التعريف (أكمل الفراغ)
الكسر الاعتيادي (Proper Fraction)	هو الكسر الجبري الذي تكون فيه درجة كثيرة الحدود في البسط أقل من درجة كثيرة الحدود في المقام.
الكسر غير الاعتيادي (Improper Fraction)	هو الكسر الجبري الذي تكون فيه درجة كثيرة الحدود في البسط أكبر أو تساوي لدرجة كثيرة الحدود في المقام.
الكسور الجزئية (Partial Fractions)	هي طريقة لتحليل كسر جبري اعتيادي معقد إلى مجموع أو طرح من الكسور الاعتيادية الأبسط.
قاعدة تحليل المقامات	يجب أن تكون كثيرة الحدود في المقام قابلة للتحليل إلى عواملها الأولية (سواء كانت خطية أو تربيعية غير قابلة للتحليل).
التعويض الصفرى (لإيجاد الثوابت)	تُستخدم عندما يحتوي المقام على عوامل خطية وغير مُتكررة، وتعتمد على جعل كل عامل يساوي الصفر بشكل مُنفصل.

اكتب الشكل الذي يجب أن يتخذه الكسر الجزئي لكل حالة، بفرض أن الثوابت هي $A, B, C, \dots$

حالة المقام	مثال على شكل المقام	شكل الكسر الجزئي
1. عوامل خطية غير مُتكررة	$(x - a)(x - b)$	$\frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}$
2. عوامل خطية مُتكررة	$(x - a)^n$	$\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2} + \dots + \frac{K}{(x - a)^n}$
3. عوامل تربيعية غير قابلة للتحليل وغير مُتكررة	$(x^2 + a)(x^2 + b)$	$\frac{Ax + B}{x^2 + a} + \frac{Cx + D}{x^2 + b}$
4. عوامل تربيعية غير قابلة للتحليل ومُتكررة	$(x^2 + a)^n$	$\frac{Ax + B}{x^2 + a} + \frac{Cx + D}{(x^2 + a)^2} + \dots + \frac{Kx + L}{(x^2 + a)^n}$

( ) إذا كان الكسر غير اعتيادي، يجب أن نُجري عملية القسمة المطولة قبل البدء بتحليله إلى كسور جزئية.
( ) يمكن استخدام طريقة الكسور الجزئية لتحليل كسر فيه المقام غير قابل للتحليل.
( ) لتحليل الكسر $\frac{5x}{x^2 - 4}$ إلى كسور جزئية، يجب أن نعتبر المقام يحتوي على عوامل خطية غير مُتكررة.
( ) في حالة العوامل الخطية المُتكررة، نحتاج إلى كتابة كسر جزئي واحد فقط للمُضاعف الأكبر لتلك العوامل.

 ملاحظة هامة: يتم تطبيق الكسور الجزئية على الكسر الاعتيادي الناتج بعد إجراء القسمة المطولة، إذا كان الكسر الأصلي غير اعتيادي.