ملخص مادة الرياضيات – الصف الثالث متوسط
مرحبا بك في ملخص الرياضيات للصف الثالث متوسط. تم إعداد هذا الملخص بطريقة سهلة ومنظمة تساعد الطالب على فهم الأفكار الأساسية للمادة ومراجعتها بصورة مبسطة. يحتوي الملخص على شرح مبسط للمفاهيم، أمثلة محلولة، تدريبات، وملاحظات تساعد في تثبيت المعلومات والاستعداد للاختبارات والامتحانات.
الرياضيات من المواد المهمة التي تساعد الطالب على التفكير المنطقي والتحليل وحل المشكلات، لذلك فإن فهم المفاهيم الأساسية أهم من الحفظ فقط. في هذا الملخص سنقوم بتبسيط كل وحدة بصورة تدريجية حتى يصبح فهم المادة أسهل وأكثر متعة.
الوحدة الأولى: العلاقات والتطبيقات (الدوال)
في هذه الوحدة نتعلم معنى العلاقة والتطبيق (الدالة)، وكيفية الربط بين العناصر داخل مجموعتين، وكيف نعرف هل العلاقة تعتبر تطبيقاً أم لا، بالإضافة إلى مجال التطبيق ومداه وأنواع التطبيقات المختلفة. تعتبر هذه الوحدة أساساً مهماً لفهم كثير من أفكار الرياضيات لاحقاً.
أولاً: مفهوم العلاقة
العلاقة هي ارتباط بين عناصر مجموعتين، بحيث يتم ربط عنصر من المجموعة الأولى بعنصر أو أكثر من المجموعة الثانية. ويمكن التعبير عن العلاقة بعدة طرق مثل:
- الأزواج المرتبة
- المخطط السهمي
- القانون الرياضي
عندما نستخدم العلاقة فإننا نحاول معرفة كيف يرتبط عنصر من مجموعة بعنصر آخر في مجموعة مختلفة.
المجموعة والمجال والمجال المقابل
لفهم العلاقة بصورة صحيحة يجب معرفة بعض المصطلحات الأساسية:
- المجال: هو مجموعة العناصر التي تبدأ منها العلاقة.
- المجال المقابل: هو مجموعة العناصر التي ترتبط بها عناصر المجال.
- مدى العلاقة: هو العناصر التي تم الوصول إليها فعلياً من المجال المقابل.
مثال توضيحي:
إذا كانت العلاقة تربط الطلاب بدرجاتهم، فإن:
- الطلاب = المجال
- الدرجات الممكنة = المجال المقابل
- الدرجات المستخدمة فعلياً = المدى
تمثيل العلاقة بالأزواج المرتبة
يمكن كتابة العلاقة باستخدام الأزواج المرتبة، ويتكون الزوج المرتب من عنصرين داخل قوسين.
مثال:
(1 ، 3) ، (2 ، 5) ، (3 ، 7)
في هذا المثال:
- العنصر الأول يمثل قيمة من المجال.
- العنصر الثاني يمثل الصورة أو القيمة المرتبطة به.
بمعنى أن:
- 1 ارتبطت بـ 3
- 2 ارتبطت بـ 5
- 3 ارتبطت بـ 7
المخطط السهمي
المخطط السهمي هو طريقة توضح العلاقة باستخدام الأسهم بين عناصر المجال والمجال المقابل.
مثال:
إذا كان لدينا:
- 1 ← 4
- 2 ← 5
- 3 ← 6
فإن الأسهم توضح طريقة الارتباط بين العناصر.
يساعد المخطط السهمي على فهم العلاقات بسهولة لأنه يوضح شكل الربط بصورة بصرية.
ثانياً: التطبيق (الدالة)
التطبيق أو الدالة هو نوع خاص من العلاقات.
حتى تكون العلاقة تطبيقاً يجب أن يحقق الشرط الآتي:
كل عنصر في المجال يرتبط بعنصر واحد فقط في المجال المقابل.
إذا ارتبط العنصر الواحد بأكثر من قيمة فإن العلاقة لا تعتبر تطبيقاً.
مثال على تطبيق
إذا كانت العلاقة:
(1 ، 4) ، (2 ، 6) ، (3 ، 8)
فإنها تعتبر تطبيقاً لأن:
- 1 لها صورة واحدة فقط
- 2 لها صورة واحدة فقط
- 3 لها صورة واحدة فقط
مثال على علاقة ليست تطبيقاً
إذا كانت العلاقة:
(1 ، 2) ، (1 ، 5) ، (2 ، 8)
فهذه ليست تطبيقاً لأن العنصر (1) ارتبط بقيمتين مختلفتين.
وهذا يخالف شرط التطبيق.
كيف نحدد إذا كانت العلاقة تطبيقاً؟
اتبع الخطوات الآتية:
- انظر إلى عناصر المجال.
- تحقق من عدد الصور لكل عنصر.
- إذا كان لكل عنصر صورة واحدة فقط فهي تطبيق.
- إذا وجد عنصر له أكثر من صورة فهي ليست تطبيقاً.
مثال محلول
حدد هل العلاقة التالية تطبيق أم لا:
(1 ، 3) ، (2 ، 5) ، (3 ، 9)
الحل:
- 1 ارتبطت بـ 3 فقط
- 2 ارتبطت بـ 5 فقط
- 3 ارتبطت بـ 9 فقط
إذن العلاقة تطبيق.
مثال آخر
حدد هل العلاقة التالية تطبيق:
(1 ، 2) ، (1 ، 4) ، (2 ، 5)
الحل:
العنصر 1 له صورتان:
- 2
- 4
إذن العلاقة ليست تطبيقاً.
قاعدة الاقتران (قانون التطبيق)
أحياناً يتم التعبير عن العلاقة أو التطبيق باستخدام قانون رياضي.
مثال:
ص = س + 2
هذا يعني أن صورة أي عدد تساوي العدد نفسه مضافاً إليه 2.
أمثلة:
- عندما س = 1 فإن ص = 3
- عندما س = 2 فإن ص = 4
- عندما س = 5 فإن ص = 7
إذن العلاقة تصبح:
(1 ، 3) ، (2 ، 4) ، (5 ، 7)
وهذه تعتبر تطبيقاً لأن كل عنصر له صورة واحدة.
مثال على قاعدة أخرى
ص = س²
وهذا يعني أن صورة العدد هي مربعه.
أمثلة:
- 1 ← 1
- 2 ← 4
- 3 ← 9
- 4 ← 16
نلاحظ أن العلاقة أيضاً تطبيق.
تدريبات محلولة
السؤال الأول: هل العلاقة التالية تطبيق؟
(2 ، 4) ، (3 ، 9) ، (4 ، 16)
الحل:
كل عنصر له صورة واحدة فقط.
إذن العلاقة تطبيق.
السؤال الثاني: هل العلاقة التالية تطبيق؟
(2 ، 3) ، (2 ، 8) ، (5 ، 10)
الحل:
العنصر 2 له صورتان.
إذن العلاقة ليست تطبيقاً.
أهمية دراسة التطبيقات
تساعد التطبيقات في فهم العلاقات الرياضية المختلفة، كما تدخل في مجالات كثيرة مثل:
- العلوم
- الهندسة
- الحاسوب
- الإحصاء
- الاقتصاد
فهم التطبيقات يساعد على تحليل البيانات وربط القيم ببعضها بصورة منظمة.
أسئلة مراجعة
- ما المقصود بالعلاقة؟
- ما المقصود بالمجال؟
- ما المقصود بالمجال المقابل؟
- متى تكون العلاقة تطبيقاً؟
- هل العلاقة التالية تطبيق: (1 ، 2) ، (2 ، 4) ، (3 ، 6)
- هل العلاقة التالية تطبيق: (1 ، 3) ، (1 ، 6) ، (2 ، 7)
بهذا نكون قد انتهينا من الجزء الأول من الوحدة الأولى، وفي الجزء القادم سنشرح بصورة أوسع:
- صورة العنصر
- مدى التطبيق
- أنواع التطبيقات
- التطبيق الشامل
- التطبيق المتباين
- أمثلة وتمارين محلولة كثيرة
الوحدة الثانية: المعادلات الخطية والتمثيل البياني
في هذه الوحدة يتعلم الطالب كيفية كتابة المعادلات الرياضية، وفهم العلاقة بين المتغيرات، وتمثيلها بيانياً، بالإضافة إلى حل المعادلات الخطية وفهم تطبيقاتها في الحياة اليومية. كما تساعد هذه الوحدة على تنمية مهارات التفكير المنطقي والتحليل الرياضي. 0
أولاً: ما المقصود بالمعادلة؟
المعادلة هي جملة رياضية تحتوي على متغير أو أكثر، وتوضح وجود مساواة بين طرفين.
مثال:
س + 3 = 8
في هذه المعادلة:
- س = المتغير أو المجهول
- 8 و 3 = أعداد ثابتة
- = تعني المساواة
الهدف من حل المعادلة هو إيجاد قيمة المجهول التي تجعل طرفي المعادلة متساويين.
مثال محلول
حل المعادلة:
س + 4 = 10
الحل:
نطرح 4 من الطرفين:
س = 10 − 4
س = 6
ثانياً: المعادلات الخطية
المعادلة الخطية هي معادلة يكون أعلى أس فيها للمتغير هو 1، وتمثل بيانياً بخط مستقيم. 1
أمثلة على المعادلات الخطية:
- ص = 2س + 1
- ص = س − 4
- 2س + ص = 7
سميت معادلات خطية لأن تمثيلها البياني يكون خطاً مستقيماً. 2
خواص المعادلات الخطية
- تحتوي على متغير واحد أو متغيرين.
- أكبر قوة للمتغير تكون 1.
- تمثل بخط مستقيم عند رسمها بيانياً.
ثالثاً: التمثيل البياني للمعادلات الخطية
التمثيل البياني يساعدنا على رؤية العلاقة بين المتغيرات بصورة واضحة، ويتم باستخدام الإحداثيات على المستوى الديكارتي. 3
المستوى الديكارتي
يتكون المستوى الديكارتي من:
- المحور السيني (الأفقي)
- المحور الصادي (الرأسي)
ويتم تحديد النقاط باستخدام زوج مرتب:
(س ، ص)
مثال:
النقطة (2 ، 4)
تعني:
- التحرك وحدتين أفقياً
- ثم أربع وحدات رأسياً
كيفية تمثيل المعادلة بيانياً
لرسم معادلة خطية نتبع الخطوات الآتية:
- نختار قيماً للمتغير س.
- نعوض في المعادلة لإيجاد ص.
- نكتب الأزواج المرتبة.
- نرسم النقاط.
- نوصل بينها بخط مستقيم.
مثال محلول
مثل المعادلة:
ص = س + 2
الحل:
| س | ص |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 5 |
الأزواج المرتبة:
(0 ، 2) ، (1 ، 3) ، (2 ، 4) ، (3 ، 5)
ثم نقوم برسم النقاط وتوصيلها بخط مستقيم.
حالات خاصة في التمثيل البياني
أحياناً تكون بعض المعادلات موازية للمحاور. 4
1- خط موازٍ للمحور الصادي
مثال:
س = 2
في هذه الحالة يكون الخط رأسياً.
2- خط موازٍ للمحور السيني
مثال:
ص = 3
في هذه الحالة يكون الخط أفقياً. 5
رابعاً: حل نظام المعادلات الخطية
عندما يكون لدينا معادلتان تحتويان على مجهولين، فإننا نحتاج لإيجاد قيمة كل متغير بحيث تحقق المعادلتين معاً. 6
مثال:
س + ص = 7
س − ص = 1
نبحث عن قيمة تحقق المعادلتين معاً.
طريقة الحذف
في هذه الطريقة نحذف أحد المتغيرين بجمع أو طرح المعادلتين. 7
مثال:
س + ص = 10
س − ص = 4
بجمع المعادلتين:
2س = 14
س = 7
نعوض:
7 + ص = 10
ص = 3
إذن الحل:
(7 ، 3)
طريقة التعويض
في هذه الطريقة نعبر عن متغير بدلالة الآخر ثم نعوض به في المعادلة الثانية. 8
مثال:
س + ص = 8
ص = س + 2
نعوض:
س + (س + 2) = 8
2س + 2 = 8
2س = 6
س = 3
ص = 5
تطبيقات لفظية على المعادلات
في الحياة اليومية نستخدم المعادلات لحل كثير من المشكلات مثل العمر، الأسعار، المسافات، والدرجات. 9
مثال:
عدد إذا أضفنا إليه 5 أصبح 12، فما العدد؟
الحل:
س + 5 = 12
س = 7
أسئلة مراجعة
- ما المقصود بالمعادلة؟
- ما الفرق بين المعادلة الخطية وغير الخطية؟
- كيف نمثل المعادلة بيانياً؟
- حل: س + 6 = 15
- مثل بيانياً: ص = س + 1
- حل بالنظام:
س + ص = 8
س − ص = 2
في الجزء القادم سنبدأ الوحدة الثالثة مع شرح منظم وأمثلة وتمارين محلولة بنفس تنسيق HTML البسيط الجاهز لبلوجر.
الوحدة الثالثة: المستوى الديكارتي والمعادلات
تعتبر وحدة المستوى الديكارتي والمعادلات من الوحدات المهمة في الرياضيات، لأنها تساعد الطالب على فهم كيفية تمثيل العلاقات الرياضية بصورة مرئية، بالإضافة إلى تعلم كيفية حل المعادلات الرياضية بطريقة منظمة وسهلة. تساعد هذه الوحدة على فهم الإحداثيات، النقاط، المحاور، وتمثيل المعادلات بيانياً.
في هذه الوحدة سنتعرف على:
- المستوى الديكارتي
- المحور السيني والمحور الصادي
- الإحداثيات
- تمثيل النقاط
- المعادلات الخطية
- الرسم البياني للمعادلات
- حل المعادلات
أولاً: ما المقصود بالمستوى الديكارتي؟
المستوى الديكارتي هو نظام يستخدم لتحديد مواقع النقاط وتمثيل العلاقات الرياضية باستخدام محورين متعامدين.
يتكون المستوى الديكارتي من:
- المحور السيني (س): محور أفقي.
- المحور الصادي (ص): محور رأسي.
ويتقاطع المحوران في نقطة تسمى:
نقطة الأصل
وتمثل بالنقطة:
(0 ، 0)
وتعد نقطة الأصل بداية القياس على المحورين.
أجزاء المستوى الديكارتي
يقسم المحوران المستوى إلى أربعة أجزاء تسمى الأرباع.
- الربع الأول: تكون فيه س موجبة وص موجبة.
- الربع الثاني: تكون فيه س سالبة وص موجبة.
- الربع الثالث: تكون فيه س سالبة وص سالبة.
- الربع الرابع: تكون فيه س موجبة وص سالبة.
معرفة الأرباع تساعد في تحديد موقع النقاط بسهولة.
ثانياً: الإحداثيات
الإحداثيات هي الأعداد التي تحدد موقع نقطة معينة على المستوى الديكارتي.
تكتب الإحداثيات في صورة:
(س ، ص)
حيث:
- العدد الأول يمثل الموقع على المحور السيني.
- العدد الثاني يمثل الموقع على المحور الصادي.
مثال:
(3 ، 2)
تعني:
- نتحرك 3 وحدات على المحور السيني.
- ثم نتحرك وحدتين للأعلى على المحور الصادي.
فنحصل على موقع النقطة.
كيفية تمثيل النقاط على المستوى الديكارتي
لتمثيل أي نقطة نتبع الخطوات الآتية:
- نبدأ من نقطة الأصل.
- نقرأ قيمة س.
- نتحرك يميناً أو يساراً حسب الإشارة.
- نقرأ قيمة ص.
- نتحرك لأعلى أو لأسفل حسب الإشارة.
- نضع النقطة في المكان الصحيح.
مثال:
مثل النقطة:
(4 ، 3)
الحل:
- نتحرك 4 خطوات يميناً.
- ثم 3 خطوات للأعلى.
- نضع النقطة.
تمثيل النقاط السالبة
إذا كانت القيمة سالبة فإن الاتجاه يتغير.
مثال:
(-2 ، 5)
الحل:
- نتحرك وحدتين جهة اليسار.
- ثم خمس وحدات للأعلى.
مثال آخر:
(3 ، -4)
- نتحرك 3 وحدات جهة اليمين.
- ثم 4 وحدات للأسفل.
ثالثاً: المعادلات الرياضية
المعادلة هي جملة رياضية تحتوي على مساواة ومجهول أو أكثر.
مثال:
س + 5 = 12
في هذا المثال:
- س = مجهول
- 5 و12 = أعداد ثابتة
- = علامة مساواة
الهدف من المعادلة هو إيجاد قيمة المجهول.
كيفية حل المعادلات
لحل المعادلات نقوم بعزل المجهول باستخدام العمليات العكسية.
مثال:
س + 4 = 10
الحل:
س = 10 − 4
س = 6
إذن قيمة المجهول تساوي 6.
مثال آخر على المعادلات
حل المعادلة:
2س = 16
الحل:
س = 16 ÷ 2
س = 8
المعادلات الخطية
المعادلات الخطية هي المعادلات التي تكون أعلى قوة للمتغير فيها تساوي 1.
مثل:
ص = 2س + 1
عند رسم هذه المعادلة نحصل على خط مستقيم.
رابعاً: تمثيل المعادلات بيانياً
يمكن تمثيل المعادلات الخطية على المستوى الديكارتي باستخدام جدول قيم.
مثال:
مثل المعادلة:
ص = س + 2
| س | ص |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 5 |
بعد إيجاد القيم نقوم بتمثيل الأزواج المرتبة على المستوى الديكارتي ثم نصل بينها بخط مستقيم.
أمثلة محلولة
السؤال: حدد موقع النقطة (5 ، 2)
الحل:
- 5 خطوات يميناً
- خطوتان للأعلى
إذن تقع في الربع الأول.
السؤال: حل المعادلة:
س − 3 = 9
الحل:
س = 9 + 3
س = 12
تطبيقات المستوى الديكارتي
يستخدم المستوى الديكارتي في:
- الهندسة
- الخرائط
- الفيزياء
- الرسم البياني
- الإحصاء
- علوم الحاسوب
أسئلة مراجعة
- ما المقصود بالمستوى الديكارتي؟
- ما اسم المحور الأفقي؟
- ما اسم المحور الرأسي؟
- مثل النقطة (2 ، 4)
- حل المعادلة: س + 6 = 20
- حل المعادلة: 3س = 18
- ما المقصود بالإحداثيات؟
في الجزء القادم سنبدأ الوحدة الرابعة بنفس التنسيق البسيط والنظيف الجاهز لمنصة بلوجر.
إرسال تعليق