ملخص الهندسة للصف الأول الثانوي وفقاً للمنهج السوداني

مرحباً بكم طلابنا الأعزاء في هذا الدليل الشامل والمبسط لمادة الهندسة للصف الأول الثانوي وفقاً للمنهج السوداني. يهدف هذا الملخص المطول إلى تجميع كافة القوانين، النظريات، والتعاريف المقررة في فروع الهندسة (التشابه، هندسة الدائرة، والهندسة التحليلية) لمساعدتكم على المراجعة السريعة والتحضير للامتحانات بثقة واقتدار.

📐 أولاً: وحدة التشابه (Similarity)

التشابه هو أحد أهم المفاهيم الهندسية، ويعني تماثل الشكلين في الهيئة مع احتمال اختلافهما في القياس أو الحجم.

1. تشابه المضلعات

يتشابه مضلعان لهما نفس عدد الأضلاع إذا تحقق الشرطان معاً:

• الشرط الأول: زواياهما المتناظرة متساوية في القياس.
• الشرط الثاني: أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة (أي أن النسبة بين كل ضلعين متناظرين ثابتة وتسمى نسبة التشابه أو مقياس الرسم).

2. تشابه المثلثات (حالات خاصة)

يكتفى بشرط واحد لتشابه المثلثات، ولدينا ثلاث حالات أساسية:

• الحالة الأولى (زاوية - زاوية): يتشابه مثلثان إذا تطابقت زاويتان في أحدهما مع زاويتين في الآخر.
• الحالة الثانية (تناسب الأضلاع الثلاثة): يتشابه مثلثان إذا كانت أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة.
• الحالة الثالثة (ضلعان وزاوية محصورة): يتشابه مثلثان إذا تناسب طولا ضلعين في أحدهما مع طولي الضلعين المناظرين لهما في الآخر، وتطابقت الزاويتان المحصورتان بينهما.

⭕ ثانياً: وحدة هندسة الدائرة (Circle Geometry)

تركز هذه الوحدة على العلاقات بين الزوايا والأقواس والمماسات في الدائرة.

1. مفاهيم أساسية في الدائرة

• الوتر: قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين على منحنى الدائرة (وأطول وتر هو القطر).
• المماس: مستقيم يتقاطع مع الدائرة في نقطة واحدة فقط تسمى نقطة التماس، ويكون دائماً عمودياً على نصف قطر الدائرة المار بنقطة التماس.

2. نظريات الزوايا والأقواس

• الزاوية المركزية: هي زاوية رأسها مركز الدائرة، وضلعاها أنصاف أقطار. قياس الزاوية المركزية يساوي قياس القوس المقابل لها.
• الزاوية المحيطية: هي زاوية رأسها على الدائرة وضلعاها وتران فيها. قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في نفس القوس.
• نظريات هامة:
  • الزوايا المحيطية المرسومة على قوس واحد متساوية في القياس.
  • الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة (مقابلة للقطر) تكون دائماً قائمة (90 درجة).

3. الشكل الرباعي الدائري

هو شكل رباعي تقع رؤوسه الأربعة على دائرة واحدة، وله خواص مميزة:

• كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان (مجموعهما 180 درجة).
• قياس الزاوية الخارجة عن الشكل الرباعي الدائري يساوي قياس الزاوية المقابلة للمجاورة لها.

📉 ثالثاً: وحدة الهندسة التحليلية (Analytical Geometry)

تربط الهندسة التحليلية بين الأشكال الهندسية والمعادلات الجبرية على مستوى الإحداثيات الثنائي (س، ص).

1. قانون المسافة بين نقطتين

إذا كانت لدينا نقطتان أ(س₁ ، ص₁) وب(س₂ ، ص₂)، فإن طول القطعة المستقيمة أب يُحسب بالقانون:

أب = √ [ (س₂ - س₁)² + (ص₂ - ص₁)² ]

2. إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة

نقطة المنتصف (م) للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين تُعطى بالقانون:

م = ( [س₁ + س₂] / 2 , [ص₁ + ص₂] / 2 )

3. ميل الخط المستقيم (Slope)

الميل (مـ) هو نسبة التغير الرأسي إلى التغير الأفقي بين أي نقطتين على المستقيم:

• قانون الميل: مـ = (ص₂ - ص₁) / (س₂ - س₁) حيث س₁ ≠ س₂.
• توازي المستقيمين: يتوازى مستقيمان إذا وفقط إذا كان لهما نفس الميل (مـ₁ = مـ₂).
• تعامد المستقيمين: يتعامد مستقيمان إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1 (مـ₁ * مـ₂ = -1).

4. معادلة الخط المستقيم

المعادلة العامة للخط المستقيم بمعلومية الميل (مـ) والجزء المقطوع من محور الصادات (جـ) هي:

ص = مـ س + جـ